Question

17．已知f（x）=1+$\sqrt{1-{x}^{2}}$${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，则${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{4}{4-π}$．

Answer 1

分析 对原式两边求出定积分，得到${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$dx+${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx•${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，根据定积分的几何意义，求出${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，继而求出答案．

解答 解：f（x）=1+$\sqrt{1-{x}^{2}}$${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$dx+${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx•${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∵${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一，
∴${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=x|${\;}_{0}^{1}$+$\frac{π}{4}$${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∴（1-$\frac{π}{4}$）${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=1，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{4}{4-π}$，
故答案为：$\frac{4}{4-π}$．

点评 本题考查了定积分的应用和定积分的几何意义，属于中档题．