题目内容
设函数f（x）=
（a∈R）．
（1）若f（x）为R上的奇函数，求a的值；
（2）若f（x）在R上为减函数，求a的取值范围．
| a-e x |
| 1+e x |
（1）若f（x）为R上的奇函数，求a的值；
（2）若f（x）在R上为减函数，求a的取值范围．
考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断
专题：函数的性质及应用
分析：（1）由f（x）为R上的奇函数，得f（0）=0，求出a的值，再验证f（x）是否为R上的奇函数即可；
（2）利用分离常数法化简f（x），由基本初等函数的单调性，求出a的取值范围．
（2）利用分离常数法化简f（x），由基本初等函数的单调性，求出a的取值范围．
解答：
解：（1）∵函数f（x）=
（a∈R），
∴当f（x）为R上的奇函数时，f（0）=0，
即
=0，
解得a=1，
此时f（x）=
是R上的奇函数，
∴a的值是1；
（2）∵f（x）=
=
=
-1，
当f（x）在R上为减函数时，a+1＞0，
解得a＞-1；
∴a的取值范围是a＞-1．
| a-e x |
| 1+e x |
∴当f（x）为R上的奇函数时，f（0）=0，
即
| a-1 |
| 1+1 |
解得a=1，
此时f（x）=
| 1-ex |
| 1+ex |
∴a的值是1；
（2）∵f（x）=
| a-ex |
| 1+ex |
=
| (a+1)-(1+ex) |
| 1+ex |
=
| a+1 |
| 1+ex |
当f（x）在R上为减函数时，a+1＞0，
解得a＞-1；
∴a的取值范围是a＞-1．
点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础性题目．
练习册系列答案
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| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|