Question

设函数.
（1）若x＝时，取得极值，求的值；
（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；
（3）设，当=－1时，证明在其定义域内恒成立，并证明（）．

Answer 1

（1）．（2）.    
（3）转化成.所以.通过“放缩”，“裂项求和”。

试题分析：，
（1）因为时，取得极值，所以，
即   故．                       3分
（2）的定义域为，
要使在定义域内为增函数,
只需在内有恒成立,
即在恒成立，         5分
又         7分
，
因此，若在其定义域内为增函数，则的取值范围是.     9分
（3）证明：，
当=－1时，，其定义域是，
令，得.
则在处取得极大值，也是最大值.
而.所以在上恒成立.因此.
因为，所以.
则.
所以
=<
==.
所以结论成立.                                 13分
点评：难题，利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”。确定函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决。本题不等式证明过程中，利用“放缩法”，转化成易于求和的数列，体现解题的灵活性。