Question

设a=

∫

2 0

（1-3x²）dx+4，则二项式（x²+

a

x

）⁶展开式中x³项的系数是

 

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,定积分

专题：二项式定理

分析：利用微积分基本定理可求得a，再求出二项式（x²+

a

x

）⁶展开式中含x³项的系数即可．

解答： 解：∵a=

∫

2 0

（1-3x²）dx+4=（x-x³）

|

2 0

+4=2-8+4=-2，
∴（x²+

a

x

）⁶=（x²-

2

x

）⁶，
设其二项展开式的通项公式为T_r+1，
则T_r+1=

C

r 6

•（x²）^6-r•（-2）^r•x^-r=（-2）^r•

C

r 6

•x^12-3r，
令12-3r=3得：r=3．
∴二项式（x²+

a

x

）⁶展开式中含x³项的系数为：-8×20=-160．
故答案为：-160．

点评：本题考查二项式定理与微积分基本定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查理解与运算的能力，属于中档题．