题目内容

18．若函数y=x3-3bx+1在区间（1，2）内是减函数，b∈R，则（　　）
A．b≤4B．b＜4C．b≥4D．b＞4

分析 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．

解答 解：函数y=x3-3bx+1的导数f′（x）=3x2-3b，
∵函数y=x3-3bx+1在区间（1，2）内是减函数，
∴f′（x）=3x2-3b≤0，在区间（1，2）内恒成立，
可知b＞0即（x-$\sqrt{b}$）（x-$\sqrt{b}$）≤0恒成立，
∵-$\sqrt{b}$≤x≤$\sqrt{b}$，
∴b≥4，
故选：C．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数，利用函数单调递减，转化为f′（x）≤0恒成立是解决本题的关键．

练习册系列答案
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8．请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m2，1百元/m2，设圆锥母线与底面所成角为θ，且θ∈（0，$\frac{π}{4}$），问当θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．
9．已知直角坐标系中x轴正方向是极坐标系的极轴，坐标原点为极点，若曲线C1：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），曲线C2：ρ=sinα．
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程．
（2）已知直线l：x+y-8=0，求曲线C1上的点到直线l的最短距离．
6．面积为S的三角形的第i条边的边长记为ai（i=1，2，3），P是该三角形内任意一点，P点到第i条边的距离记为h1，若$\frac{{a}_{1}}{1}=\frac{{a}_{2}}{2}=\frac{{a}_{3}}{3}$=k，则h${\;}_{1}+2{h}_{2}+3{h}_{3}=\frac{2S}{k}$．
（1）类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的任意一点，Q点到第i个面的距离记为Hi写出相应的正确命题．
（2）请证明第（1）问的正确命题．
13．已知函数f（x）=x2+alnx+1（a∈R）．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）若对于任意的x∈（1，e]，任意的a∈（-2，-1），不等式ma-$\frac{1}{2}$f（x）＜a2成立，求实数m的取值范围．
3．已知函数f（x）=$\frac{ax}{e^x}$，其中a＞0，且函数f（x）的最大值是$\frac{1}{e}$
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）=lnf（x）-b有两个零点，求实数b的取值范围；
（3）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜$\frac{1}{{k+2x-{x^2}}}$成立，求实数k的取值范围．
10．已知直线l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$
（1）若P（1，-1），l上一点Q对应的参数值t=-2，求Q的坐标和|PQ|的值；
（2）l与圆x2+y2=4交于M、N，求|MN|的值．
7．如果命题p（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（　　）
A．p（n）对所有正整数n都成立B．p（n）对所有正偶数n都成立
C．p（n）对大于或等于2的正整数n都成立D．p（n）对所有自然数都成立
8．已知{an}，{bn}为两非零有理数列（即对任意的i∈N*，ai，bi均为有理数），{dn}为一无理数列（即对任意的i∈N*，di为无理数）．
（1）已知bn=-2an，并且（an+bndn-andn2）（1+dn2）=0对任意的n∈N*恒成立，试求{dn}的通项公式．
（2）若{dn3}为有理数列，试证明：对任意的n∈N*，（an+bndn-andn2）（1+dn2）=1恒成立的充要条件为$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}=\frac{1}{{1+{d_n}^6}}}\\{{b_n}=\frac{{{d_n}^3}}{{1+{d_n}^6}}}\end{array}}$．
（3）已知sin2θ=$\frac{24}{25}$（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），dn=$\root{3}{{tan（n•\frac{π}{2}+{{（-1）}^n}θ）}}$，试计算bn．

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