Question

9．已知直角坐标系中x轴正方向是极坐标系的极轴，坐标原点为极点，若曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），曲线C₂：ρ=sinα．
（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程．
（2）已知直线l：x+y-8=0，求曲线C₁上的点到直线l的最短距离．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），消去参数，可得普通方程，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，将曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程即可；
（2）曲线C₁上的点到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ+\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+α）-8|}{\sqrt{2}}$，即可求曲线C₁上的点到直线l的最短距离．

解答 解：（1）曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），消去参数，可得普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
曲线C₂：ρ=sinθ，即：ρ²=ρsinθ，直角坐标方程为x²+y²-y=0．
（2）曲线C₁上的点到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ+\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+α）-8|}{\sqrt{2}}$，
∴曲线C₁上的点到直线l的最短距离为$\frac{8-\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

点评 本题主要考查了极坐标方程、参数方程及直角坐标方程之间的相互转化，考查了点到直线的距离的计算，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．