Question

5．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过焦点垂直于x轴的直线与椭圆相交的弦长为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C长轴的左右端点分别为A₁，A₂，设直线x=-4与x轴交于点D，动点M是直线x=-4上异于点D的任意一点，直线A₁M，A₂M与椭圆C分别交于P，Q两点，问直线PQ是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的性质，及椭圆的通径，即可求得a和b的值；
（2）分别求得直线A₁M，A₂M的方程，代入椭圆方程，即可求得P，Q坐标，根据直线的斜率公式，即可求得直线PQ是否恒过定点．

解答 解：（1）由题意的焦点在x轴上，设椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a²=4b²，由题意的通径$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1，
解得：a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）知椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，则A₁（-2，0），A₂（2，0），
M（-4，m）（m∈R，且m≠0）P（x₁，y₁）．Q（x₂，y₂）
${k}_{{A}_{1}M}$=$\frac{m-0}{-4+2}$=-$\frac{m}{2}$，${k}_{{A}_{2}M}$=$\frac{m-0}{-4-2}$=-$\frac{m}{6}$，
∴A₁M：y=-$\frac{m}{2}$（x+2），A₂M：y=-$\frac{m}{6}$（x-2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{m}{2}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（m²+1）x²+4m²x+4m²-4=0，
-2x₁=$\frac{4{m}^{2}-4}{{m}^{2}+1}$，x₁=-$\frac{2{m}^{2}-2}{{m}^{2}+1}$，y₁=-$\frac{m}{2}$（x₁+2）=-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，
P（-$\frac{2{m}^{2}-2}{{m}^{2}+1}$，-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{m}{6}（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（m²+9）x²-4m²x+4m²-36=0，
∴2x₂=$\frac{4{m}^{2}-36}{{m}^{2}+9}$，∴x₂=$\frac{2{m}^{2}-18}{{m}^{2}+9}$，y₂=-$\frac{m}{6}$（x₂-2）=$\frac{6m}{{m}^{2}+9}$，
Q（$\frac{2{m}^{2}-18}{{m}^{2}+9}$，$\frac{6m}{{m}^{2}+9}$）．
则k_PQ=k_PQ=$\frac{2m}{3-{m}^{2}}$（m≠±$\sqrt{3}$），y+$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$=$\frac{2m}{3-{m}^{2}}$（x+$\frac{2{m}^{2}-2}{{m}^{2}+1}$），
y=$\frac{2m}{3-{m}^{2}}$x-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$=$\frac{2m}{3-{m}^{2}}$（x+1），
∴直线PQ恒过定点（-1，0），
当m=$\sqrt{3}$时，P（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），Q（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），当m=-$\sqrt{3}$时，P（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），Q（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
直线PQ恒过定点（-1，0），
∴综上可知：直线PQ恒过定点（-1，0），

点评 通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过方程与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想，属于中档题．