Question

如图所示的几何体为一简单组合体，其底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（1）若N为线段PB的中点，求证：NE∥平面ABCD；
（2）若∠ADC=120°，且PD=BC=2，求该简单组合体的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接EO根据ABCD为菱形，推断出O为BD中点，进而根据N为线段PB的中点，证明出NO∥PD，NO=

1

2

PD，又根据EC∥PD，且PD=2EC，推断出四边形NOCE为平行四边形，可知NE∥OC，最后利用线面平行的判定定理推断出NE∥平面ABCD．
（2）根据底面ABCD为菱形且∠DCB=60°判断出△BCD为正三角形，取CD中点F，连接BF，则可知BF⊥CD，依据PD⊥平面ABCDBF?平面ABCD，推断春PD⊥BF，进而利用线面垂直的判定定理推断出BF⊥平面PDCE，同时根据PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，推断出PD⊥DC，进而求得四边形PDCE的面积即棱锥B-CDFE的体积，通过面积公式求得三角形ABD的面积，则棱锥P-ABD的体积可得，最后把这两个棱锥的体积相加即可．

解答： （1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接EO
∵底面ABCD为菱形，
∴O为BD中点，
又N为线段PB的中点，
∴NO∥PD，NO=

1

2

PD，
又EC∥PD，且PD=2EC，
∴EC∥NO，EC=NO，
∴四边形NOCE为平行四边形，
∴NE∥OC，
又NE?平面ABCD，OC?平面ABCD，
∴NE∥平面ABCD．
（2）∵底面ABCD为菱形且∠DCB=60°
∴△BCD为正三角形，取CD中点F，连接BF，
∴BF⊥CD，
∵PD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，
∴PD⊥BF
又PD∩CD=D，
∴BF⊥平面PDCE，
∵PD⊥平面ABCDDC?平面ABCD，
∴PD⊥DC，
∴四边形PDCE的面积S1=

(PD+CE)•CD

2

=

(2+1)•2

2

=3，
而BF=

3

2

BC=

3

2

•2=

3

，
∴VB-CDFE=

1

3

S1•BF=

1

3

•3•

3

=

3

，
而S△ABD=

1

2

AD•AB•sin60°=

1

2

•2•2•

3

2

=

3

，
∴VP-ABD=

1

3

S△ABD•PD=

1

3

•

3

•2=

2 3

3

，
∴该简单组合体的体积为VB-CDFE+VP-ABD=

3

+

2 3

3

=

5 3

3

．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．