Question

8．求证：
（1）C${\;}_{n}^{0}$+7C${\;}_{n}^{1}$+7²C${\;}_{n}^{2}$+…+7ⁿC${\;}_{n}^{n}$=2³ⁿ．
（2）2ⁿ-C${\;}_{n}^{1}$•2^n-1+C${\;}_{n}^{2}$•2^n-2+…+（-1）^n-1C${\;}_{n}^{n-1}$•2+（-1）ⁿ=1．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项式展开式的通项公式、二项式定理化简等式的左边，即可证得结论．
（2）由条件利用二项式展开式的通项公式、二项式定理化简等式的左边，即可证得结论．

解答 （1）证明：∵C${\;}_{n}^{0}$+7C${\;}_{n}^{1}$+7²C${\;}_{n}^{2}$+…+7ⁿC${\;}_{n}^{n}$=（1+7）ⁿ=8ⁿ=2³ⁿ ，∴C${\;}_{n}^{0}$+7C${\;}_{n}^{1}$+7²C${\;}_{n}^{2}$+…+7ⁿC${\;}_{n}^{n}$=2³ⁿ 成立．
（2）证明：∵2ⁿ-C${\;}_{n}^{1}$•2^n-1+C${\;}_{n}^{2}$•2^n-2+…+（-1）^n-1C${\;}_{n}^{n-1}$•2+（-1）ⁿ =（2-1）ⁿ=1，
∴2ⁿ-C${\;}_{n}^{1}$•2^n-1+C${\;}_{n}^{2}$•2^n-2+…+（-1）^n-1C${\;}_{n}^{n-1}$•2+（-1）ⁿ=1．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．