Question

5．定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（2-x），f'（x）（x-1）＞0，则对任意的x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜2的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 充要条件
• C． 必要不充分条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据条件判断函数的对称性和单调性，结合函数单调性和对称性之间的关系进行转化求解即可．

解答 解：由f（x）=f（2-x），得函数关于x=1对称，
由f'（x）（x-1）＞0得，
当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数，
若x₁＜x₂，当x₂≤1，函数为减函数，满足对任意的x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂），
此时x₁+x₂＜2，
若x₂＞1，
∵函数f（x）关于x=1对称，则f（x₂）=f（2-x₂），
则2-x₂＜1，
则由f（x₁）＞f（x₂）得f（x₁）＞f（x₂）=f（2-x₂），
此时函数在x＜1时为减函数，
则x₁＜2-x₂，即x₁+x₂＜2，
即对任意的x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂）得x₁+x₂＜2，
反之也成立，
即对任意的x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜2的充要条件，
故选：B

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据条件判断函数的对称性和单调性之间的关系，利用条件进行转化是解决本题的关键．