Question

3．已知函数f（x）=$\frac{a}{\sqrt{x}}$+b，?a∈[$\frac{1}{3}$，3]总存在x₀∈[$\frac{1}{4}$，1]，使f（x₀）＞3，则实数b的取值范围是（$\frac{7}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用参数分离法进行转化，求函数的最值即可．

解答 解：∵当a∈[$\frac{1}{3}$，3]，函数f（x）在[$\frac{1}{4}$，1]上为减函数，
∴若f（x₀）＞3，
则f（x₀）=$\frac{a}{\sqrt{{x}_{0}}}$+b＞3成立，
即b＞3-$\frac{a}{\sqrt{{x}_{0}}}$成立即可，
设y=3-$\frac{a}{\sqrt{{x}_{0}}}$，则函数为增函数，
则当a=$\frac{1}{3}$，x₀=$\frac{1}{4}$时，函数取得最小值为y=3-$\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$=3-$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}$=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$，
即b＞$\frac{7}{3}$即可，
故答案为：（$\frac{7}{3}$，+∞）

点评 本题主要考查函数恒成立问题，利用参数分离法转化求函数的最值是解决本题的关键．