Question

10．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a{x}^{2}+bx+c}$，其中a，b，c∈R．
（1）若a=b=c=1，求f（x）的单调区间；
（2）若b=c=1，且当x≥0时，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，b=1，c=1，求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；
（2）若b=c=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，先确定a≥0，在分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数a的取值范围；

解答 解：（1）a=1，b=1，c=1，f′（x）=$\frac{{e}^{x}{（x}^{2}-x）}{{{（x}^{2}+x+1）}^{2}}$，
∴0＜x＜1，f′（x）＜0，x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，
∴函数的单调减区间是（0，1），单调增区间是（-∞，0），（1，+∞）；
（2）若b=c=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，则a≥0．
a=0，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+1}$，f′（x）=$\frac{{xe}^{x}}{{（x+1）}^{2}}$≥0，
∴f（x）_min=f（0）=1；
a＞0，f′（x）=$\frac{{e}^{x}•ax•（x+\frac{1-2a}{a}）}{{（{ax}^{2}+x+1）}^{2}}$，
0＜a≤$\frac{1}{2}$，f（x）_min=f（0）=1；a≥$\frac{1}{2}$，f（x）在[0，$\frac{2a-1}{a}$]上为减函数，
在[$\frac{2a-1}{a}$，+∞）上为增函数，
f（x）_min＜f（0）=1，不成立，
综上所述，0≤a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题