Question

2．已知P是曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（xy≠0）上的动点，F₁，F₂为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F₁PF₂的角平分线上的一点，且$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，则|$\overrightarrow{OM}$|的取值范围是（0，2）．

Answer 1

分析 椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（xy≠0），a=3，b=$\sqrt{5}$，则c=$\sqrt{9-5}$=2，如图所示．M是∠F₁PF₂的角平分线上的一点，且F₁M⊥MP，可得点M是底边F₁N的中点．又点O是线段F₁F₂的中点，|OM|=$\frac{1}{2}$丨$\overrightarrow{{F}_{2}N}$丨，|PF₁|=|PN|，可得∠F₂NM＞∠F₂F₁N，可得|F₁F₂|＞|F₂N|，即可得出．

解答 解：由椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（xy≠0），a=3，b=$\sqrt{5}$，则c=$\sqrt{9-5}$=2，
如图所示．∵M是∠F₁PF₂的角平分线上的一点，
∵$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}$⊥$\overrightarrow{MP}$，
∴点M是底边F₁N的中点，
又点O是线段F₁F₂的中点，
∴|OM|=$\frac{1}{2}$丨$\overrightarrow{{F}_{2}N}$丨，
∵|PF₁|=|PN|，
∴∠F₂NM＞∠F₂F₁N，
∴|F₁F₂|＞|F₂N|，
∴0＜|OM|$\frac{1}{2}$×2c=c=2．
∴则|OM|的取值范围是（0，2）．
故答案为：（0，2）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．