Question

（2012•安徽模拟）已知

a

=(m，1)，

b

=(sinx，cosx)，f(x)=

a

•

b

且满足f(

π

2

)=1．
（1）求函数y=f（x）的解析式及最小正周期；
（2）在锐角三角形ABC中，若f(

π

12

)=

2

sinA，且AB=2，AC=3，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标及f（x）=

a

•

b

，利用平面向量的数量积运算法则得出函数f（x）的解析式，根据f（

π

2

）=1，代入函数解析式，利用特殊角的三角函数值化简，求出m的值，进而确定出函数f（x）的解析式，提取

2

，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函数的最小正周期；
（2）由f(

π

12

)=

2

sinA，代入函数解析式，得出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，再由AB及AC的长，利用余弦定理即可求出BC的长．

解答：解：（1）∵

a

=（m，1），

b

=（sinx，cosx）且f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=msinx+cosx，又f（

π

2

）=1，
∴msin

π

2

+cos

π

2

=1，
∴m=1，
∴f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴函数f（x）的最小正周期T=2π；
（2）∵f（

π

12

）=

2

sinA，
∴f（

π

12

）=

2

sin

π

3

=

2

sinA，
∴sinA=

3

2

，
∵A是锐角三角形ABC的内角，
∴A=

π

3

，又AB=2，AC=3，
∴由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2•AB•AC•cosA=3²+2²-2×2×3×

1

2

=7，
∴BC=

7

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．