题目内容
（2012•安徽模拟）已知f（x）=2
sinx+
（1）求f（x）的最大值，及当取最大值时x的取值集合．
（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有f（x）≤f（A），若a=
，求
•
的最大值．
| 3 |
| sin2x |
| sinx |
（1）求f（x）的最大值，及当取最大值时x的取值集合．
（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有f（x）≤f（A），若a=
| 3 |
| AB |
| AC |
分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简，从而可求f（x）的最大值，及当取最大值时x的取值集合；
（2）由f（x）≤f（A）可知f（A）为f（x）为最大值，结合A的范围可求A，由
•
=cbcosA=
cb，结合余弦定理及基本不等式可求最值
（2）由f（x）≤f（A）可知f（A）为f（x）为最大值，结合A的范围可求A，由
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）f（x）=2
sinx+
=2
sinx+2cosx=4sin（x+
）
∴当x+
=2kπ+
（k∈Z）时，f（x）取得最大值为4
∴f（x）的最大值为4，取最大值时x的取值集合为{x|x=2kπ+
，k∈Z}．
（2）对定义域内任意x，有f（x）≤f（A），∴f（A）为f（x）为最大值
∴f（A）=4即sin（A+
）=1
∴0＜A＜π，∴A=
∴
•
=cbcosA=
cb
又∵a2=b2+c2-2bccosA，a=
∴3=b2+c2-bc≥bc（当b=c时取等号）
∴bc≤3
∴
•
的最大值
，此时b=c=
| 3 |
| sin2x |
| sinx |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴当x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴f（x）的最大值为4，取最大值时x的取值集合为{x|x=2kπ+
| π |
| 3 |
（2）对定义域内任意x，有f（x）≤f（A），∴f（A）为f（x）为最大值
∴f（A）=4即sin（A+
| π |
| 6 |
∴0＜A＜π，∴A=
| π |
| 3 |
∴
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
又∵a2=b2+c2-2bccosA，a=
| 3 |
∴3=b2+c2-bc≥bc（当b=c时取等号）
∴bc≤3
∴
| AB |
| AC |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，余弦定理及向量的数量积的应用．
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