Question

1．已知k＞0，且不等式$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y≤kx+2}\end{array}\right.$表示的平面区域的面积为S，则（k-2）S²的最大值等于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，计算出三角形的面积，转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
∵k＞0，∴当y=0时，x=-$\frac{2}{k}$，即B（-$\frac{2}{k}$，0），
当x=0时，y=2，即A（0，2），
则三角形的面积S=$\frac{1}{2}×$$\frac{2}{k}$×2=$\frac{2}{k}$，
则（k-2）S²=（k-2）（$\frac{2}{k}$）²=$\frac{4k-8}{{k}^{2}}$=-8（$\frac{1}{k}$）²+$\frac{4}{k}$=-8（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{2}$，
∵k＞0，∴$\frac{1}{k}$＞0，
则当$\frac{1}{k}$=-$\frac{1}{4}$时，（k-2）S²取得最大值，最大值为$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查函数最值的求解，结合线性规划以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．