Question

如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、P分别BC、A₁D₁的中点，M、N分别是AE、CD₁的中点，AD=AA₁=1，AB=2．

（1）求证：MN∥面ADD₁A₁；

（2）求MN与平面ABCD所成角的正切值；

（3）求三棱锥P﹣DEN的体积．

Answer 1

考点：

直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

（1）利用三角形中位线的性质，证明线面平行，从而可得面面平行，即可证明MN∥面ADD₁A₁；

（2）确定MN与平面ABCD所成角，再利用三角函数，即可求得角的正切值；

（3）利用转换底面方法，即可求三棱锥P﹣DEN的体积．

解答：

（1）证明：取CD的中点K，连结MK、NK

∵M、N、K分别为AK、CD₁、CD的中点

∴MK∥AD，NK∥DD₁

∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁

∴面MNK∥面ADD₁A₁∴MN∥面ADD₁A₁…（4分）

（2）解：由（1）知∠NMK是直线MN与平面ABCD所成的角…（5分）

∵，

∴…（8分）

（3）

作DQ⊥CD₁交CD₁于Q，由A₁D₁⊥面CDD₁C₁得，A₁C₁⊥DQ

∴DQ⊥面BCD₁A₁

∴在Rt△CDD₁中，

∴…（14分）

点评：

本题考查线面平行的判定与性质，考查面面平行，考查线面角，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．