题目内容

21、已知|
EF
|=2c，|
EF
|=2a（a＞c），2
EH
=
EG
，2
EO
=
EF
，
HP
•
EG
=0（G为动点） （a＞c）．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程；
（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与EF（或EF的延长线）有唯一的交点C，证明：|
OC
|＜
c2
a
．
分析：（1）根据向量式转化成：|PE|+|PF|=|PG|+|PF|=|FG|=2a（＞|EF|），结合椭圆的定义得点P的轨迹为椭圆，最后写出轨迹方程即可；
（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2）．A，B的中点M（x0，y0），C（t，0）．分类讨论：①当kCM不存在时，显然成立．
②当kCM存在时，利用“点差法”得直线AB的斜率，再结合题中条件：“kAB•kCM=-1．”即可证得结论．
解答：解：（1）|PE|+|PF|=|PG|+|PF|=|FG|=2a（＞|EF|），∴点P的轨迹为椭圆
∴轨迹方程为
x2
a2
+
y2
a2-c2
=1
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．A，B的中点M（x0，y0），C（t，0）．
当kCM不存在时，显然成立．
当kCM存在时，kCM=
y0
x0-t
．由“点差法”得：kAB=-
a2-c2
a2
•
x0
y0

∵kAB•kCM=-1.x0=
a2-t
c2
∵|x0|＜a∴|
a2-t
c2
|＜a∴|t|＜
c2
a
即|
OC
|＜
c2
a
．
点评：本小题主要考查椭圆的应用、轨迹方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用设而不求的方法：“点差法”．
练习册系列答案
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精英家教网如图，已知空间四边形ABCD中，
AB
=
a
-2
c
，
CD
=5
a
+6
b
-8
c
，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则
EF
=
 
（用向量
a
，
b
，
c
表示）．
精英家教网已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且
BC
=
a
，
CA
=
b
，
AB
=
c
，则下列命题中正确命题的个数为（　　）
①
EF
=
1
2
c
-
1
2
b
；
②
BE
=
a
+
1
2
b
；
③
CF
=
1
2
b
-
1
2
a
；
④
AD
+
BE
+
CF
=
0
．
A、1B、2C、3D、4
如图，已知|
EF
|=2c，|
FG
|=2a(a＞c＞0)，且2
EH
=
EG
，2
EO
=
EF
，
HP
•
EG
=0（G为动点）．
（1）建立适当的平面直角坐标系，写出点P的轨迹方程；
（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点A，B，且线段AB的中垂线与EF（或EF的延长线）相交于一点C，求证：|
OC
|＜
c2
a
；
（3）若a
OF
=c
OM
且点P的轨迹上存在点Q使得
OQ
•
QM
=0，求点P的轨迹的离心率e的取值范围．
如图，已知|
AB
|=2c，|
BC
|=2a（a＞c），且
AD
=
1
2
AC
，
DP
•
AC
=0，C为动点．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程；
（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点E、F，且线段EF的中垂线与AB（或AB的延长线）相交于一点Q，求出点Q的活动范围．

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