Question

如图，已知|

EF

|=2c，|

FG

|=2a(a＞c＞0)，且2

EH

=

EG

，2

EO

=

EF

，

HP

•

EG

=0（G为动点）．
（1）建立适当的平面直角坐标系，写出点P的轨迹方程；
（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点A，B，且线段AB的中垂线与EF（或EF的延长线）相交于一点C，求证：|

OC

|＜

c2

a

；
（3）若a

OF

=c

OM

且点P的轨迹上存在点Q使得

OQ

•

QM

=0，求点P的轨迹的离心率e的取值范围．

Answer 1

分析：（1）以EF所在的直线为x轴，EF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，利用向量的数量积可得|

PF

|+|

PE

|=|

PG

|=2a，从而可得点P的轨迹是以E、F为焦点，长轴长为2a的椭圆，即可求轨迹方程；
（2）设出C的坐标，确定横坐标的范围，即可证得结论；
（3）设OQ所在直线为所在直线，与椭圆方程联立，利用

OQ

•

QM

=0，即可求点P的轨迹的离心率e的取值范围．

解答：（1）解：如图，以EF所在的直线为x轴，EF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．（1分）
由题设2

EH

=

EG

，

HP

•

GE

=0，
∴|

PG

|=|

PE

|，而|

PF

|+|

PE

|=|

PG

|=2a，
∴点P的轨迹是以E、F为焦点，长轴长为2a的椭圆，
故点P的轨迹方程是：

x2

a2

+

y2

a2-c2

=1．（4分）
（2）证明：如图，设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），C （x₀，0），
∴x₁≠x₂，且|

CA

|=|

CB

|，即（x₁-x₀）²+

y

2 1

=（x₂-x₀）²+

y

2 2

．①
又A、B在轨迹上，∴

x 2 1

a2

+

y 2 1

a2-c2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

a2-c2

=1，
即

y

2 1

=a2-c2-

a2-c2

a2

x

2 1

，

y

2 2

=a2-c2-

a2-c2

a2

x

2 2

，（6分）
代入①整理得：2（x₂-x₁）•x₀=

c2

a2

（

x

2 2

-

x

2 1

），（8分）
∵x₁≠x₂，∴x₀=

c2(x1+x2)

2a2

．（8分）
∵-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，∴-2a≤x₁+x₂≤2a．
∵x₁≠x₂，∴-2a＜x₁+x₂＜2a，
∴-

c2

a

＜x0＜

c2

a

，即|

OC

|＜

c2

a

．（9分）
（3）解：由a

OF

=c

OM

，即点M为椭圆的右顶点，由

OQ

•

QM

=0知直线OQ斜率必存在，
设OQ所在直线为所在直线为y=kx，
由

y=kx x2 a2 + y2 a2-c2 =1

，解得

x= ab a2k2+b2 y= abk a2k2+b2

（其中b²=a²-c²）     （11分）
∴

OQ

=(

ab

a2k2+b2

，

abk

a2k2+b2

)

QM

=(a-

ab

a2k2+b2

，

-abk

a2k2+b2

)
由

OQ

•

QM

=0得

ab

a2k2+b2

•(a-

ab

a2k2+b2

)-

a2b2k2

a2k2+b2

=0
化简得a=（1+k²）•

ab

a2k2+b2

，（12分）
∴a²k²+b²=b²（1+k²）²
∴a²=2b²+b²k²≥2b²=2（a²-c²），
∴a²≤2c²，即

2

2

≤e＜1
故离心率e的取值范围是[

2

2

，1）（14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．