题目内容
过圆x2+y2=1上一点P作圆的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，则OA+8•OB的最小值是
2
| 65 |
2
．| 65 |
分析：设∠OBP=α，由O＜α＜
，∠OAP=
-α，知OA+8OB=
+
≥2
，当且仅当
=
，sinα=8cosα时，OA+8OB=
+
取最小值．此时，sinα=8cosα，由此能求出OA+8•OB的最小值．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 1 |
| cosα |
| 8 |
| sinα |
|
| 1 |
| cosα |
| 8 |
| sinα |
| 1 |
| cosα |
| 8 |
| sinα |
解答：解：设∠OBP=α，
∵O＜α＜
，∠OAP=
-α，
∴OA=
=
，
OB=
，
∴OA+8OB=
+
=
+
≥2
，
当且仅当
=
，sinα=8cosα时，OA+8OB=
+
取最小值．
此时，sinα=8cosα，
cos2α=
，cosα=
，sinα=
，
∴
+
=
+
=2
．
故OA+8•OB的最小值为2
．
∵O＜α＜
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴OA=
| 1 | ||
sin(
|
| 1 |
| cosα |
OB=
| 1 |
| sinα |
∴OA+8OB=
| 1 | ||
sin(
|
| 8 |
| sinα |
| 1 |
| cosα |
| 8 |
| sinα |
|
当且仅当
| 1 |
| cosα |
| 8 |
| sinα |
| 1 |
| cosα |
| 8 |
| sinα |
此时，sinα=8cosα，
cos2α=
| 1 |
| 65 |
| ||
| 65 |
8
| ||
| 65 |
∴
| 1 |
| cosα |
| 8 |
| sinα |
| 65 |
| 65 |
| 65 |
故OA+8•OB的最小值为2
| 65 |
点评：本题考查直线和圆的方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用均值不等式进行解题．
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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过圆x2+y2=1上一点作切线与x轴，y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
| C、2 | ||
| D、3 |
+2
|的最小值是 ．
+2
|的最小值是 ．