Question

过圆x²+y²=1上一点作切线与x轴，y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

分析：用截距式设出切线方程，由圆心到直线的距离等于半径以及基本不等式可得：

a2+b2

≤

a2+b2

2

，令t=

a2+b2

，可得t的最小值为 2，进而得到答案．

解答：解：设切线方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），即 bx+ay-ab=0，
由圆心到直线的距离等于半径得

|0+0-ab|

a2+b2

=1，
所以ab=

a2+b2

≤

a2+b2

2

，令t=

a2+b2

，
则有t²-2t≥0，t≥2，故t的最小值为 2．
由题意知  t=|AB|，
故选C．

点评：本题考查点到直线的距离公式和基本不等式的应用，体现了换元的思想（在换元时应该注意等价换元）．