Question

20．设方程x-3=a（x+2）（x-1）有两个不相等的实根．
（1）当两根都大于1时，求a的取值范围；
（2）如果两根中有大于1的，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）构造函数，利用根与系数之间的关系进行求解；
（2）构造函数，利用根与系数之间的关系进行求解．

解答 解：（1）由x-3=a（x+2）（x-1）得a（x+2）（x-1）-x+3=0，
设f（x）=a（x+2）（x-1）-x+3=ax²+（a-1）x+3-2a，
若两根都大于1时，
∵f（1）=3-1=2＞0
则满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=（a-1）^{2}-4a（3-2a）＞0}\\{f（1）＞0}\\{-\frac{a-1}{2a}＞1}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{9{a}^{2}-14a+1＞0}\\{f（1）=3-1=2＞0}\\{a＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞\frac{7+2\sqrt{10}}{9}或a＜\frac{7-2\sqrt{10}}{9}}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞\frac{7+2\sqrt{10}}{9}或a＜\frac{7-2\sqrt{10}}{9}}\\{a＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜$\frac{1}{3}$，即a的取值范围（0，$\frac{1}{3}$）；
（2）由判别式△＞0得a＞$\frac{7+2\sqrt{10}}{9}$或a＜$\frac{7-2\sqrt{10}}{9}$且a≠0，
∵f（1）=3-1=2＞0，
∴x=1不是方程的根，
故如果两根中有大于1的，
则a的取值范围是a＞$\frac{7+2\sqrt{10}}{9}$或a＜0或$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{7-2\sqrt{10}}{9}$．

点评 本题主要考查一元二次方程和函数之间的关系，构造函数，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．