Question

已知曲线C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ为参数）
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=

π

2

，Q为C₂上的动点，求PQ的中点M到直线x-2y-7=0的距离的最小值．

Answer 1

考点：椭圆的参数方程,圆的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：本题可以利用同角三角函数基本关系式消去参数，得到曲线的普通方程；（2）根据椭圆的参数方程设出椭圆上一点，求出点到直线距离后，研究其最小值，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵曲线C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数），
∴C1：(x+4)2+(y-3)2=1．
∴曲线C₁是圆．
∵曲线C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ为参数），
∴C2：

x2

64

+

y2

9

=1．
∴曲线C₂是椭圆．
（2）∵C₁上的点P对应的参数为t=

π

2

，
∴P（-4，4）．
∵Q为C₂上的动点，
∴设Q（8cosθ，3sinθ），
则M(

8cosθ-4

2

，

3sinθ+4

2

)d=

|4cosθ-2-3sinθ-4-7|

1+4

=

|5cos(θ-ϕ)-13|

5

，
dmin=

8

5

=

8 5

5

．
∴PQ的中点M到直线x-2y-7=0的距离的最小值为

8

5

5

．

点评：本题考查的是曲线的参数方程和普通方程的互化，以及曲线参数方程的应用．本题难度不大，属于中档题．