Question

9．在直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosα\\ y=3+sinα\end{array}\right.$（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为：θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R）．
（I）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设C₁与C₂的交点为M，N，求|MN|．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosα\\ y=3+sinα\end{array}\right.$（α为参数），利用平方关系可得普通方程．曲线C₂的极坐标方程为：θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），可得直角坐标方程：y=x．
（II）求出圆心（2，3）到直线的距离d，利用|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．

解答 解：（I）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosα\\ y=3+sinα\end{array}\right.$（α为参数），
利用平方关系可得：（x-2）²+（y-3）²=1．
曲线C₂的极坐标方程为：θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），
可得直角坐标方程：y=x．
（II）圆心（2，3）到直线的距离d=$\frac{|2-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、点到直线的距离公式、弦长公式等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力，属于中档题．