Question

18．以直角坐标系xOy的原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的方程是ρ²-2ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ+3=0，点A是曲线C与Y轴的交点，直线l的方程是ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
（1）求曲线C的直角坐标方程和点A的极坐标；
（2）求以A点为圆心且与直线l相切的圆C′的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）曲线C的方程是ρ²-2ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ+3=0，利用互化公式可得直角坐标方程，令x=0，解得y即可得出A．
（2）直线l的方程是ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，展开为：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$-$\frac{1}{2}ρsinθ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用互化公式可得直角坐标方程．求出圆心A到直线的距离d．即可得出：以A点为圆心且与直线l相切的圆C′的直角坐标方程，即可化为极坐标方程．

解答 解：（1）曲线C的方程是ρ²-2ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ+3=0，
可得直角坐标方程：x²+y²-2x-2$\sqrt{3}$y+3=0．
令x=0，可得y²-2$\sqrt{3}$y+3=0，解得y=$\sqrt{3}$．
∴点A是曲线C与Y轴的交点（0，$\sqrt{3}$）．
（2）直线l的方程是ρcos（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
展开为：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$-$\frac{1}{2}ρsinθ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化为$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，
可得圆心A到直线的距离d=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴以A点为圆心且与直线l相切的圆C′的直角坐标方程：${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=3，
化为x²+y²-2$\sqrt{3}$y=0，
可得极坐标方程：${ρ}^{2}-2\sqrt{3}ρ$sinθ=0，
即ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程互化、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．