Question

已知函数f（x）满足f（x）+1=

1

f(x+1)

，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（-1，1]内，函数g（x）=f（x）-log_m（x+2）有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  3

  ）
• B、（0，

  1

  3

  ]
• C、[3，+∞）
• D、（1，3]

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：把函数的零点转化为两函数图象的交点，求出函数f（x）的解析式，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）+1=

1

f(x+1)

，当x∈[0，1]时，f（x）=x，
∴x∈（-1，0）时，x+1∈（0，1），
则f（x）+1=

1

f(x+1)

=

1

x+1

，
∴f（x）═

1

x+1

-1，
若函数g（x）=f（x）-log_m（x+2）有两个零点，
则由g（x）=f（x）-log_m（x+2）=0
得f（x）=log_m（x+2）有两个根，
即y=f（x）与y=g（x）=log_m（x+2）的图象有两个交点，
函数图象如图，
当0＜m＜1时，函数y=log_m（x+2）单调递减，此时不满足条件，
当m＞1时，函数y=log_m（x+2）单调递增，若两函数有两个交点，
则满足当x=1时，g（1）≤1，即log_m3≤1，解得m≥3，
故选：C

点评：本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围，考查了函数零点与函数图象与x轴的交点之间的关系，体现了数形结合的思想，和应用图象解决问题的能力．