Question

13．2014年9月13日，被誉为西南第一高铁的成绵乐客运专线正式进入调试阶段．在进行“综合检测列车逐级提速试验”时，必须对其中三项不同的指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假设三项指标甲、乙、丙进行通过检测合格的概率分别为$\frac{2}{3}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{2}$，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．
（1）求该试验中对三项不同的指标量化检测得分不低于8分的概率；
（2）记三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）设该试验中对三项不同的指标甲、乙、丙量化检测合格分别为事件A、B、C，则该试验中对三项不同的指标量化检测得分不低于8分的事件为ABC+A$\overline{B}$C，由ABC与A$\overline{B}$C互斥，且A、B、C彼此独立，能求出该试验中对三项不同的指标量化检测得分不低于8分的概率．
（2）三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设该试验中对三项不同的指标甲、乙、丙量化检测合格分别为事件A、B、C，
则该试验中对三项不同的指标量化检测得分不低于8分的事件为ABC+A$\overline{B}$C，
∵ABC与A$\overline{B}$C互斥，且A、B、C彼此独立，
∴该试验中对三项不同的指标量化检测得分不低于8分的概率：
P（ABC+A$\overline{B}$C）=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（$\overline{B}$）P（C）
=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）×\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{3}$．
（2）三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{18}$，
P（ξ=1）=P（A$\overline{B}\overline{C}$）+P（$\overline{A}B\overline{C}$）+P（$\overline{A}\overline{B}C$）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{18}$，
P（ξ=2）=P（$AB\overline{C}+A\overline{B}C+\overline{A}BC$）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{8}{18}$，
P（ξ=3）=P（ABC）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{4}{18}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{8}{18}$	$\frac{4}{18}$

Eξ=$0×\frac{1}{18}+1×\frac{5}{18}+2×\frac{8}{18}+3×\frac{4}{18}$=$\frac{33}{18}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．