Question

16．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦点为F₁，F₂，若椭圆上存在满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=\frac{1}{2}{b^2}$的点P，则椭圆的离心率的范围是$[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$．

Answer 1

分析 由F₁、F₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两个焦点，椭圆上存在点P，满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=\frac{1}{2}{b^2}$，推出a，c的关系，由此能求出离心率的范围．

解答 解：∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦点为F₁，F₂，若椭圆上存在满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=\frac{1}{2}{b^2}$的点P，
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|cos$＜\overrightarrow{P{F}_{1}}，\overrightarrow{P{F}_{2}}＞$=$\frac{1}{2}$b²，4c²=${\overrightarrow{P{F}_{1}}}^{2}$$+{\overrightarrow{P{F}_{2}}}^{2}$-2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|cos$＜\overrightarrow{P{F}_{1}}，\overrightarrow{P{F}_{2}}＞$，$|\overrightarrow{P{F}_{1}}|+|\overrightarrow{P{F}_{2}}|=2a$
可得${\overrightarrow{P{F}_{1}}}^{2}$$+{\overrightarrow{P{F}_{2}}}^{2}$+2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=4a²，∴4c²=4a²-2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|-b²，
∴2|PF₁|•|PF₂|=3a²-3c²≤2$（\frac{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|+|\overrightarrow{P{F}_{2}}|}{2}）^{2}$，可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}≥\frac{1}{3}$，解得e$≥\frac{\sqrt{3}}{3}$．
所以e∈$[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$．
故答案为：$[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$．

点评 本题考查椭圆的性质的简单应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．