Question

3．已知在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=cos（$\frac{π}{2}$-x）cosx+$\sqrt{3}$sin²x．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值，并求出取得最大值时x的取值集合；
（2）若f（A）=$\sqrt{3}$（0＜A＜$\frac{π}{2}$），三角形的面积S=6$\sqrt{3}$，且b-c=1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，利用周期公式可求f（x）的最小正周期，利用正弦函数的性质可求最大值及取得最大值时x的取值集合；
（2）由已知，可求$sin（2A-\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，结合范围$0＜A＜\frac{π}{2}$，可求A，利用三角形面积公式可求bc，结合b-c=1及余弦定理即可得解a的值．

解答 解：（1）由已知得：$f（x）=cos（\frac{π}{2}-x）cosx+\sqrt{3}{sin^2}x$=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（1-cos2x）$=$sin（2x-\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
故当2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x的取值集合为{x|x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z}时，f（x）的最大值为1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（2）由已知，因为$sin（2A-\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又$0＜A＜\frac{π}{2}$，解得$A=\frac{π}{3}$．
由$S=\frac{1}{2}bcsinA=6\sqrt{3}$，得bc=24，
结合b-c=1及余弦定理知：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b-c）²+bc=1+24=25，
可得：a=5．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的性质，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．