Question

1．已知直角梯形ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=4，沿AC折叠成三棱锥D-ABC，当三棱锥D-ABC体积最大时，其外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{4}{3}π$
• B． 4π
• C． 8π
• D． 16π

Answer 1

分析 画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．

解答 解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，
如图：AB=4，AD=2，CD=2，
∴AC=2$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，
∴BC⊥AC，
取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，
∵三棱锥体积最大时，
∴平面DCA⊥平面ACB，
∴OB=OA=OC=OD，
∴OB=2，就是外接球的半径为2，
此时外接球的表面积为：4π•2²=16π．
故选：D．

点评 本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．