Question

1．如图1是四棱锥的直观图，其正（主）视图和侧（左）视图均为直角三角形，俯视图外框为矩形，相关数据如图2所示．

（1）设AB中点为O，在直线PC上找一点E，使得OE∥平面PAD，并说明理由；
（2）若直线PB与底面ABCD所成角的正切值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，求四棱锥P-ABCD的外接球的表面积．

Answer 1

分析 （1）当E是PC中点时，OE∥平面PAD，取PD中点F，连接AF、EF、OF，证明四边形EFAO是平行四边形，即可证明OE∥平面ADP．
（2）由三视图可得PD⊥平面ABCD，连接DB，说明∠PBD是直线PB与底面ABCD所成角，由直观图易知四棱锥P-ABCD的外接球的直径即为PB，求出PB，然后求解四棱锥P-ABCD的外接球的表面积．

解答 解：（1）当E是PC中点时，OE∥平面PAD，
证明如下：取PD中点F，连接AF、EF、OF，
在△PDC中，E、F分别是PC、PD的中点，
∴EF是△PDC的中位线，
∴EF∥DC且$EF=\frac{1}{2}DC$，又O是AB中点，AB=DC，
∴EF∥AO且EF=AO，
∴四边形EFAO是平行四边形，
∴OE∥AF．
又∵AF?平面ADP，OE?平面ADP，
∴OE∥平面ADP．

（2）由三视图可得PD⊥平面ABCD，连接DB，
则∠PBD是直线PB与底面ABCD所成角，
在底面矩形ABCD中，AD=4，AB=8，$DB=4\sqrt{5}$，
∴$tan∠PBD=\frac{PD}{BD}=\frac{PD}{{4\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，∴PD=8．
由直观图易知四棱锥P-ABCD的外接球的直径即为PB，
∴PB²=PD²+DB²=144．
故四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4πR²=144π．

点评 本题考查几何体的外接球的表面积，直线与平面平行的判断与应用，考查存在性问题，转化思想以及空间想象能力．