Question

11．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3bcosB=acosC+ccosA，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2．
（1）求cosB及△ABC的面积S；
（2）若b=3，且a＞c，求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理将边化角可得，利用和角公式可得cosB，根据平面向量的数量积公式可得ac=6，带入面积公式即可求出面积；
（2）利用余弦定理可得a²+c²=13，从而求出a，b的值，再利用正弦定理即可得出sinC．

解答 解：（1）∵3bcosB=acosC+ccosA，
∴3sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
∴cosB=$\frac{1}{3}$，
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=accosB=2，∴ac=6，
∵sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$absinC=2$\sqrt{2}$．
（2）由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-9}{12}$=$\frac{1}{3}$，
∴a²+c²=13，
又ac=6，a＞c，
∴a=3，b=2．
由正弦定理得$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，
∴sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，属于中档题．