Question

10．下列函数中，最小值是4的函数是（　　）

• A． y=x+$\frac{4}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π）
• C． y=e^x+4e^-x
• D． $y={log_3}x+\frac{4}{{{{log}_3}x}}$

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质进行判断即可．

解答 解：对于A：y=x+$\frac{4}{x}$，当x＞0时，y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{4}$=4，当且仅当x=2时取等号；当x＜0时，x+$\frac{4}{x}$=-（x+$\frac{4}{x}$）≥-2$\sqrt{4}$=-4，即y≤-4，当且仅当x=-2时取等号．∴A不对．
对于B：y=sinx+$\frac{4}{sinx}$$≥2\sqrt{4}=4$（0＜x＜π），当且仅当sinx=2时取等号．∵sinx的最大值为1，故取不到等，∴B不对．
对于C：y=e^x+4e^-x=e^x+4$\frac{1}{{e}^{x}}$$≥2\sqrt{4}=4$，当且仅当x=log_e2时取等号．∴C对．
对于D：当log₃x＞0时，$y={log_3}x+\frac{4}{{{{log}_3}x}}$$≥2\sqrt{4}=4$，当且仅当x=9时取等号．当log₃x＜0时，$y={log_3}x+\frac{4}{{{{log}_3}x}}$$≤2\sqrt{4}=-4$，即y≤-4，当且仅当x=$\frac{1}{9}$时取等号．∴D不对．
故选C．

点评 本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．