Question

19．f（x）是定义在R上可导函数，且f′（x）＞f（x），则对任意正实数a，下列成立的是（　　）

• A． f（a）＜$\frac{f（0）}{{e}^{ax}}$
• B． f（a）＞$\frac{f（0）}{{e}^{a}}$
• C． f（a）＜e^af（0）
• D． f（a）＞e^af（0）

Answer 1

分析 根据选项令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，可以对其进行求导，根据已知条件f′（x）＞f（x），可以证明g（x）为增函数，可以推出g（a）＞g（0），再对选项进行判断．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的可导函数，
∴可以令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＞f（x），e^x＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）为增函数，
∵正数a＞0，
∴g（a）＞g（0），
∴$\frac{f（a）}{{e}^{a}}$＞$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=f（0），
∴f（a）＞e^af（0），
故选：D．

点评 此题主要考查利用导数研究函数单调性，此题要根据已知选项构造特殊函数，是一道中档题．