Question

17．设F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与C交于点A，直线FA恰与曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）相切于点A，FA交C的准线于点B，则$\frac{|FA|}{|BA|}$等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 求出切线方程，利用曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与C交于点A，用p表示m，n，即可得出结论．

解答 解：设A（m，n），则由y=$\frac{k}{x}$可得y′=-$\frac{k}{{x}^{2}}$，
∴过F的切线方程为y=-$\frac{k}{{m}^{2}}$（x-$\frac{p}{2}$），
代入A，可得n=-$\frac{k}{{m}^{2}}$（m-$\frac{p}{2}$），
∵n²=2pm，k=mn，
∴m=$\frac{p}{4}$，n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$p，
∴-$\frac{k}{{m}^{2}}$=-$\frac{n}{m}$=-2$\sqrt{2}$，
设切线的倾斜角为α，A在准线上的射影为C，则tanα=-2$\sqrt{2}$，∴cosα=-$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{|FA|}{|BA|}$=$\frac{|AC|}{|AB|}$=-cosα=$\frac{1}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查切线方程，考查抛物线的方程与定义的运用，属于中档题．