题目内容
【题目】已知数列
满足
，
，
.
（1）若
.
①求数列的通项公式；
②证明：对
， 
.
（2）若
，且对，有
，证明：
.
【答案】（1）①
；②证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
（1）①当
时，
，两边取倒数，再根据数列递推关系，可得出数列
是首项为2，公差为1的等差数列，即可求出数列
的通项公式；
②由①知，利用裂项公式整理得出
，则对
，根据裂项相消法即可求出
；
（2）当
时，
，则
，由于
，则
，根据基本不等式得出
，化简整理有
，最后再利用基本不等式，即可证明出
.
解：（1）①当时，，
∵
，∴
，依此类推，
∴
，∴
，
∴数列是首项为2，公差为1的等差数列，
∴
，即，
②证明：由①知，故对
，
∴
＝
＝
，
（2）证明：当时，，
则，
∵，则，得，
∴
＝
＝
，
∵
与
不能同时成立，所以上式“＝”不成立，
即对，.
练习册系列答案
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【题目】某学校为了了解该校高三年级学生寒假在家自主学习的情况，随机对该校300名高三学生寒假的每天学习时间（单位：h）进行统计，按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算该校高三年级学生的平均每天学习时间（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（Ⅱ）该校规定学习时间超过4h为合格，否则不合格．已知这300名学生中男生有140人，其中合格的有70人，请补全下表，根据表中数据，能否有99.9%的把握认为该校高三年级学生的性别与学习时长合格有关？
男生 | 女生 | 总计 | |
不合格 | |||
合格 | 70 | ||
总计 | 140 | 160 | 300 |
参考公式：
，其中
．
参考附表：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
