Question

【题目】已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．

（1）试求抛物线的方程；

（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．

①求证：直线恒过定点；

②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②，是以为直径的圆（除去点.

【解析】

（1）设A（xA，yA），B（xB，yB），由|OA|＝|OB|，可得2pxA2pxB，化简可得：点A，B关于x轴对称．因此AB⊥x轴，且∠AOx＝30°．可得yA＝2p，再利用等边三角形的面积计算公式即可得出；

（2）①由题意可设直线PQ的方程为：x＝my+a，P（x1，y1），Q（x2，y2）．与抛物线方程联立化为：y2﹣my﹣a＝0，利用∠PMQ＝90°，可得0利用根与系数的关系可得m，或（m），进而得出结论；

②设N（x，y），根据MN⊥NH，可得0，即可得出．

（1）解依题意，设，，

则由，得，

即，

因为，，所以，

故，，

则，关于轴对称，

所以轴，且，

所以.

因为，所以，

所以，

故，，

故抛物线的方程为.

（2）①证明 由题意可设直线的方程为，

，，

由，消去，得，

故，，.

因为，所以.

即.

整理得，

，

即，

得，

所以或.

当，即时，

直线的方程为，

过定点，不合题意舍去.

故直线恒过定点.

②解 设，则，即，

得，

即，

即轨迹是以为直径的圆（除去点）.