Question

18．已知函数f（x）=ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=e²，当x∈（0，e]时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由此根据a≤0，a＞0进行分类讨论，结合导数性质求出当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，$\frac{1}{a}$），单调递增区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅱ）求出函数的导数，得到f（x）的单调区间，求出f（x）的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$（x＞0），
①当a≤0时，由于x＞0，故ax-1＜0，f'（x）＜0，
所以，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），
②当a＞0时，由f'（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$，
在区间（0，$\frac{1}{a}$）上，f'（x）＜0，在区间（$\frac{1}{a}$，+∞）上，f'（x）＞0，
所以，函数f（x）的单调递减区间为（0，$\frac{1}{a}$），
单调递增区间为（$\frac{1}{a}$，+∞），
综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，$\frac{1}{a}$），单调递增区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅱ）a=e²时，f（x）=e²x-lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$（e²x-1），（x＞0），
∵e²＞0，由（Ⅰ）得：
f（x）在（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）递减，在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=3．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的最值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．