Question

13．已知正数a，b，c满足约束条件：$\left\{\begin{array}{l}{a≤b+c}\\{a≥\frac{1}{3}（b+c）}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{b≤a+c}\\{b≥c-2a}\end{array}\right.$，则$\frac{2c-b}{a}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{7}{2}$
• C． 0
• D． -1

Answer 1

分析 由题意得到关于$\frac{b}{a}，\frac{c}{a}$的不等式组，令x=$\frac{b}{a}$，y=$\frac{c}{a}$换元后作出可行域，进一步求得目标函数z=$\frac{2c-b}{a}$=-x+2y的最大值．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{a≤b+c}\\{a≥\frac{1}{3}（b+c）}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{b≤a+c}\\{b≥c-2a}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}+\frac{c}{a}≥1}\\{\frac{b}{a}+\frac{c}{a}≤3}\\{\frac{b}{a}-\frac{c}{a}≤1}\\{\frac{b}{a}-\frac{c}{a}≥-2}\end{array}\right.$，
令x=$\frac{b}{a}$，y=$\frac{c}{a}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{x+y≤3}\\{x-y≤1}\\{x-y≥-2}\end{array}\right.$，z=$\frac{2c-b}{a}$=-x+2y．
作出可行域如图：
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-2}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$），
∴z=-x+2y的最大值为$\frac{9}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．