Question

已知函数

（1）若曲线，在点处的切线与圆相切，求的取值范围；

（2）若，讨论函数的单调性；

（3）证明： 

Answer 1

解：（1）∵，∴f′（1）=1+2a+b，

其切线方程为y﹣（a+b）=（1+2a+b）（x﹣1），即（1+2a+b）x﹣y﹣1﹣a=0．

由切线与圆x²+y²=1相切可得

化为3a²+（2+4b）a+b²+2b+1=0，此方程有解，∴△=（2+4b）²﹣12（b²+2b+1）≥0，解得或．

①

②

③

④

 

⑤

（3）由（2）可知：当b=1时，当x＞1时，函数f（x）单调递减．

∴f（x）＜f（1），即lnx﹣x²+x＜0，令，可得．