题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）化简f（x）的表达式，并求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当 $数学公式$ ，求函数f（x）的值域．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ =2（sin $\text{[math]}$ cos2x+cos $\text{[math]}$ sin2x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），…（5分）
∴f（x）的表达式为y=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），周期为T= $\text{[math]}$ =π…（7分）
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，…（9分）
∴当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，即x= $\text{[math]}$ 时，f（x）的最小值为2sin $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，即x= $\text{[math]}$ 时，f（x）的最大值为2sin $\text{[math]}$ =2，…（12分）
∴函数f（x）的值域为 $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（I）由辅助角公式将函数合并化简得f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式，即可得到f（x）的周期；
（II）根据自变量x的范围，得到2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，然后结合正弦函数的图象与性质，即可得到函数f（x）的值域．
点评：本题给出三角函数表达式，求函数的周期与值域，着重考查了三角恒等变换、三角函数的周期及其求法等知识点，属于基础题．