Question

已知函数．
（1）化简f（x）；
（2）已知常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围；
（3）若方程f（x）（sinx-1）+a=0有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二倍角的余弦公式和平方差公式整理函数式，再合并同类型，点的三角函数的最简形式．
（2）根据上一问做出的函数的解析式，代入自变量整理出函数式，根据正弦函数的单调性先写出函数的单调区间，根据所给的单调区间，两者进行比较，得到ω的取值范围．
（3）原方程可化为2sin²x-sinx+a-1=0，换元令sinx=t，则问题转化为方程2t²-t+a-1=0在[-1，1]内有一解或两解，根据解的情况写出实根分布的充要条件，得到结果．
解答：解：（1）=（2+2sinx）sinx+1-2sin²x=2sinx+1（14分）
（2）∵f（ωx）=2sinωx+1
由
∴f（ωx）的递增区间为
∵f（ωx）在上是增函数
∴当k=0时，有
∴解得  
∴ω的取值范围是（8分）
（3）解一：方程f（x）（sinx-1）+a=0即为（2sinx+1）（sinx-1）+a=0从而问题转化为方程a=-2sin²x+sinx+1有解，只需a在函数y=-2sin²x+sinx+1的值域范围内
∵
当；
当sinx=-1时，y_min=-2
∴实数a的取值范围为（12分）
解二：原方程可化为2sin²x-sinx+a-1=0
令sinx=t，则问题转化为方程2t²-t+a-1=0在[-1，1]内有一解或两解，
设g（t）=2t²-t+a-1，若方程在[-1，1]内有一个解，则解得-2≤a＜0
若方程在[-1，1]内有两个解，则解得
∴实数a的取值范围是[-2，]
点评：本题考查三角函数的化简求值及一元二次方程的实根分布，本题解题的关键是整理出三角函数的解析式，熟练应用三角函数的公式来解题，本题是一个中档题目．