Question

已知椭圆C：，F₁，F₂分别为左，右焦点，离心率为，点A在椭圆C上，，，过F₂与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得以线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在焦点三角形F₁AF₂中，由，可得顶角A的余弦值，由椭圆定义及离心率为，，即可将三边都用a表示，最后利用余弦定理列方程即可解得a值，进而得椭圆C的方程
（2）先设出点P、Q的坐标及直线l的方程，代入椭圆方程，得关于x的一元二次方程，利用韦达定理得交点P、Q横坐标的和与积，再由存在点M（m，0），使得以线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形，知，将坐标代入后可得m关于k的函数，求其值域，看是否符合题意即可
解答：解：（1）由已知，∴2c=a，即|F₁F₂|=a
∵，∴
又∵，
∴，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得，
即a²-4a+4=0
∴a=2
∴c=1，b²=a²-c²=3，
∴椭圆方程为．
（2）假设存在点M（m，0）（0＜m＜1）满足条件，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线l的方程为y=k（x-1），
联立：，
∵直线l过焦点，∴△＞0
∴，
∵线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形
∴
∵，，
，
，
∴，
∵x₂-x₁≠0，k=
∴x₂+x₁-2m+k（y₂+y₁）=0，
∵y₂+y₁=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₂+x₁）-2k
∴x₂+x₁-2m+k²（x₂+x₁-2）=0，
∴，
∴，
∴，
又∵M（m，0）在线段OF₂上，则0＜m＜1，
故存在满足题意．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质，焦点三角形的性质，直线与椭圆的位置关系，特别是直线与椭圆相交时利用韦达定理，设而不求的技巧解决问题的能力