Question

已知椭圆C的焦点F₁（-2

2

，0）和F₂（2

2

，0），长轴长6．
（1）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．
（2）求过点（0，2）的直线被椭圆C所截弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）根据焦点坐标得出椭圆的焦点在x轴上，由椭圆的焦点坐标得出c的值，再由长轴的值求出a的值，进而利用椭圆的性质求出b的值，确定出椭圆的标准方程，与直线y=x+2联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设出两交点A与B的坐标，利用根与系数的关系求出两根之和，即为两交点横坐标之和，利用中点坐标公式即可求出AB中点M的横坐标，代入直线方程可得M的纵坐标，进而确定出线段AB的中点坐标；
（2）设过点（0，2）的直线方程的斜率为k，表示出直线方程，与椭圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，由直线与椭圆有两个不同的交点，得到根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，设出直线与椭圆的两交点坐标，利用韦达定理表示出两交点横坐标之和，利用中点坐标公式表示出线段AB中点C的横坐标，代入直线方程可得C的纵坐标，消去参数k即可得到所求的轨迹方程．

解答：解：（1）由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c=2

2

，a=3，从而b=1，
所以其标准方程是：

x2

9

+y2=1．
联立方程组

x2 9 +y2=1 y=x+2

，消去y得，10x²+36x+27=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB线段中点为M（x₀，y₀），
那么：x1+x2=-

18

5

，x0=

x1+x2

2

=-

9

5

，
所以y0=x0+2=

1

5

，
也就是说线段AB中点坐标为(-

9

5

，

1

5

)；
（2）设直线方程为y=kx+2，
把它代入x²+9y²=9，
整理得：（9k²+1）x²+36kx+27=0，
要使直线和椭圆有两个不同交点，则△＞0，即k＜-

3

3

或k＞

3

3

，
设直线与椭圆两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点坐标为C（x，y），
则x=

x1+x2

2

=

-18k

9k2+1

，y=

-18k

9k2+1

+2=

2

9k2+1

，
从参数方程

x= -18k 9k2+1 y= 2 9k2+1

（k＜-

3

3

或k＞

3

3

），
消去k得：x²+9（y-1）²=9，且|x|＜3，0＜y＜

1

2

．
综上，所求轨迹方程为x²+9（y-1）²=9，其中|x|＜3，0＜y＜

1

2

．

点评：此题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，用到的知识有韦达定理，中点坐标公式，参数方程，以及椭圆的简单性质，解答直线与圆锥曲线的交点问题时，常常联立直线与圆锥曲线方程，消去一个变量得到一个一元二次方程，利用韦达定理及中点坐标公式解决问题，本题第二问是动点的参数方程问题，设出直线的斜率k作为参数来求轨迹方程．