题目内容
16．已知函数f（x）=ax-x2（a＞0且a≠1）有两个正数零点，则实数a的取值范围为（1，${e}^{\frac{2}{e}}$）．分析 作函数y=ax与y=x2的图象，从而可得a＞1，再假设函数f（x）=ax-x2（a＞0且a≠1）至多有一个正数零点，从而可得a≥${e}^{\frac{2}{e}}$；从而解得．
解答 解：作函数y=ax与y=x2的图象如下，
结合图象可知，a＞1；
假设函数f（x）=ax-x2（a＞0且a≠1）至多有一个正数零点，
则ax≥x2恒成立，
即xlna≥2lnx恒成立；
即lna≥$\frac{2lnx}{x}$恒成立；
令F（x）=$\frac{2lnx}{x}$，则F′（x）=2•$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$；
故F（x）max=F（e）=$\frac{2}{e}$；
故lna≥$\frac{2}{e}$；
故a≥${e}^{\frac{2}{e}}$；
故使函数f（x）=ax-x2（a＞0且a≠1）有两个正数零点，
则实数a的取值范围为（1，${e}^{\frac{2}{e}}$）；
故答案为：（1，${e}^{\frac{2}{e}}$）．
点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于难题．
练习册系列答案
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6．化简$\sqrt{{a}^{-\frac{4}{3}}{b}^{2}\root{3}{a{b}^{2}}}$（a＞0，b＞0）的结果是（ ）
| A． | a${\;}^{\frac{1}{2}}$b${\;}^{\frac{4}{3}}$ | B． | ${a}^{-\frac{1}{2}}$b${\;}^{-\frac{4}{3}}$ | C． | ${a}^{-\frac{1}{2}}$b${\;}^{\frac{4}{3}}$ | D． | a${\;}^{\frac{1}{2}}$b${\;}^{-\frac{4}{3}}$ |