Question

6．已知函数f（x）=2x+m，g（x）=f（x-1）+m．
（1）若函数f（x）与g（x）的图象重合，求实数m的值；
（2）若函数f（x）与g（x）的图象都与圆x²+y²=1有公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）与g（x）的图象重合，则f（x）=g（x），进而结合多项式相等的充要条件，可得实数m的值；
（2）若函数f（x）与g（x）的图象都与圆x²+y²=1有公共点，则两条直线到圆心的距离均不大于半径1，进而可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）若函数f（x）与g（x）的图象重合，
则f（x）=g（x），
即2x+m=f（x-1）+m=2（x-1）+2m．
解得：m=2，
（2）g（x）=f（x-1）+m=2x+2m-2，
若函数f（x）与g（x）的图象都与圆x²+y²=1有公共点，
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{\left|m\right|}{\sqrt{5}}≤1\\ \frac{|2m-2|}{\sqrt{5}}≤1\end{array}\right.$，
解得：m∈[1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$]

点评 本题考查的知识点是函数的三要素，函数的图象，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，难度中档．