设椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{r}^{2}-{a}^{2}}$=1的焦点在x轴上.F1.F2分别是椭圆的左.右焦点.点P是椭圆在第一象限内的点.直线F2P交y轴与点Q.(Ⅰ)当r=1时.(i)若椭圆E的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.求椭圆E的方程,(ii)当点P在直线x+y=l上时.求直线F1P与F1Q的夹� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．设椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{r}^{2}-{a}^{2}}$=1的焦点在x轴上，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆在第一象限内的点，直线F₂P交y轴与点Q，
（Ⅰ）当r=1时，
（i）若椭圆E的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求椭圆E的方程；
（ii）当点P在直线x+y=l上时，求直线F₁P与F₁Q的夹角；
（Ⅱ）当r=r₀时，若总有F₁P⊥F₁Q，猜想：当a变化时，点P是否在某定直线上，若是写出该直线方程（不必求解过程）．

分析（Ⅰ）（i），根据椭圆的离心率，以及b²=1-a²，即可求出椭圆E的方程，
（ii）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c$\sqrt{2{a}^{2}-1}$．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F₁P的斜率，直线F₂P的方程为斜率，根据斜率乘积等于-1即可求出夹角，
（Ⅱ）由（ii）即可求出过点P为定直线，方程为x+y=r₀．

解答解：（Ⅰ）（i））依题意b²=1-a²，c=$\sqrt{2{a}^{2}-1}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a²=$\frac{4}{5}$，b²=$\frac{1}{5}$，
所以椭圆E的方程为$\frac{5{x}^{2}}{4}$+5y²=1；
（ii）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c=$\sqrt{2{a}^{2}-1}$，由题设知x₀≠c，
将直线y=1-x代入椭圆E的方程，由于点P是椭圆在第一象限内的点，解得x₀=a²，y₀=1-a²，
则直线F₁P的斜率为$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+c}$，直线F₂P的斜率为$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$，
直线F₂P的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$（x-c），当x=0时，y=$\frac{c{y}_{0}}{c-{x}_{0}}$
Q点的坐标为（0，$\frac{c{y}_{0}}{c-{x}_{0}}$），
所以直线F₁Q的斜率为$\frac{{y}_{0}}{c-{x}_{0}}$，
所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+c}$•$\frac{{y}_{0}}{c-{x}_{0}}$=-1，
所以 F₁P⊥F₁Q，
所以直线F₁P与F₁Q的夹角为90°；
（Ⅱ）过点P为定直线，方程为x+y=r₀，
理由如下：
由（ii）可知，F₁P⊥F₁Q，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+c}$•$\frac{{y}_{0}}{c-{x}_{0}}$=-1，
化简得 y₀²=x₀²-（2a²-r₀）．
因为 P为椭圆E上第一象限内的点，将上式代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{r}^{2}-{a}^{2}}$=1
得x₀=a²，y₀=r₀-a²，
所以x₀+y₀=r₀，
所以方程为x+y=r₀