Question

设数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=

3

2

（b_n-1）且a₂=b₁，a₅=b₂
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，设T_n为{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=

3

2

（b_n-1），
∴b₁=S₁=

3

2

(b1-1)，解得b₁=3．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=

3

2

(bn-1)-

3

2

(bn-1-1)，
化为b_n=3b_n-1．
∴数列{b_n}为等比数列，
∴bn=3×3n-1=3n．
∵a₂=b₁=3，a₅=b₂=9．
设等差数列{a_n}的公差为d．
∴

a1+d=3 a1+4d=9

，解得d=2，a₁=1．
∴a_n=2n-1．
综上可得：a_n=2n-1，bn=3n．

（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ．
∴T_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
3T_n=3²+3×3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹．
∴-2T_n=3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=

2×3(3n-1)

3-1

-（2n-1）•3ⁿ⁺¹-3=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6．
∴Tn=3+(n-1)3n+1．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．