Question

已知a≥

1

Inx

-

1

x-1

（x∈（1，2]），求a最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：由题意，令f（x）=

1

Inx

-

1

x-1

，从而求导f′（x）=

1

(x-1)2

-

1

x(lnx)2

=

xln2x-(x-1)2

(x-1)2x(lnx)2

；再令g（x）=xln²x-（x-1）²并求导g′（x）=ln²x+2lnx-2（x-1）；g″（x）=

2lnx-2x+2

x

；再令h（x）=2lnx-2x+2并求导h′（x）=

2

x

-2；从而由导数的正负确定函数的单调性；再求

lim

x→1

（

1

Inx

-

1

x-1

）=

lim

x→1

x-lnx-1

(x-1)lnx

=

lim

x→1

1- 1 x

lnx- 1 x +1

=

lim

x→1

1 x2

1 x + 1 x2

=

1

2

；从而求a最小值．

解答： 解：由题意，令f（x）=

1

Inx

-

1

x-1

，
f′（x）=

1

(x-1)2

-

1

x(lnx)2

=

xln2x-(x-1)2

(x-1)2x(lnx)2

；
令g（x）=xln²x-（x-1）²，
g′（x）=ln²x+2lnx-2（x-1）；
g″（x）=

2lnx-2x+2

x

；
令h（x）=2lnx-2x+2；
故h′（x）=

2

x

-2；
∵x∈（1，2]，
∴

2

x

-2＜0；
故h（x）在（1，2]上是减函数，
故h（x）＜h（1）=0-2+2=0；
故g″（x）＜0；
故g′（x）=ln²x+2lnx-2（x-1）在（1，2]上是减函数；
故g′（x）＜0+0-2（1-1）=0；
故g（x）=xln²x-（x-1）²在（1，2]上是减函数；
故g（x）＜g（1）=0；
故f′（x）＜0；
故f（x）=

1

Inx

-

1

x-1

在（1，2]上是减函数；
又∵

lim

x→1

（

1

Inx

-

1

x-1

）
=

lim

x→1

x-lnx-1

(x-1)lnx

=

lim

x→1

1- 1 x

lnx- 1 x +1

=

lim

x→1

1 x2

1 x + 1 x2

=

1

2

；
故a≥

1

2

；
故a最小值为

1

2

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，通过不断求导确定函数的单调性，属于中档题．