Question

已知二次函数f（x）满足条件：f（-1）=f（2）=0，f（3）=4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）＞m对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）设出二次函数解析式f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由已知条件列方程组求出a，b，c的值，则函数解析式可求；
（2）直接利用配方法求出二次函数的最值，则m的范围可求．

解答： 解：（1）由题意设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵f（-1）=f（2）=0，f（3）=4，
∴

a-b+c=0 4a+2b+c=0 9a+3b+c=4

，解得：

a=1 b=-1 c=-2

．
∴f（x）=x²-x-2；
（2）由f（x）=x²-x-2=(x-

1

2

)2-

9

4

≥-

9

4

，
则满足f（x）＞m对任意x∈R都成立的实数m的取值范围是（-∞，-

9

4

）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查了二次函数最值的求法，是中档题．